Movimiento en una dimensión
Mecánica
La mecánica es la más antigua de las ciencias físicas. Históricamente, sus conceptos fundamentales se usaron y generalizaron para elaborar otros campos de la física. Por consiguiente, una comprensión de los principios de la mecánica proporciona fundamento para entender toda la física.
Básicamente, la mecánica es el estudio de los objetos materiales. La parte que describe el movimiento se llama cinemática; la parte que relaciona el movimiento con las fuerzas que lo causan y con las propiedades del sistema en movimiento se llama dinámica. En estos apuntes y en el siguiente nos ocuparemos de la cinemática. Primero consideraremos el movimiento en una dimensión y en el siguiente capítulo el movimiento bi y tridimensional.
Cinemática de la Partícula
Un objeto real puede girar al ir moviéndose. Por ejemplo una pelota puede girar mientras se mueve como un todo en una trayectoria. También un cuerpo puede vibrar conforme se va moviendo, por ejemplo, una gotita de agua que cae. Esas complicaciones pueden evitarse considerando el movimiento de un cuerpo muy pequeño llamado una partícula. Matemáticamente una partícula se trata como un punto, un objeto sin extensión, de tal manera que no hay que hacer consideraciones de rotaciones ni de vibraciones.
Real y verdaderamente no existe en la naturaleza un objeto sin extensión. Sin embargo, el concepto de “partícula” es muy útil porque los cuerpos reales a menudo se comportan, por lo menos aproximadamente, como si fueran partículas. Un cuerpo no tiene que ser necesariamente “pequeño” en el sentido usual de la palabra para que pueda ser tratado como partícula. Por ejemplo, si consideramos la distancia de la Tierra al Sol, con respecto a esta distancia la Tierra y el Sol pueden considerarse ordinariamente como partículas. Podemos deducir una gran cantidad de información acerca del movimiento del Sol y los planetas, sin error apreciable, tratando esos cuerpos como partículas. Las pelotas, las moléculas y los electrones, pueden tratarse a menudo como partículas. Aún si un cuerpo es demasiado grande para considerarse como partícula para un problema específico, siempre puede considerarse al cuerpo como compuesto por un gran número de partículas y los resultados del movimiento de las partículas pueden ser útiles en el análisis del problema Por consiguiente, como una simplificación, limitaremos por ahora nuestro estudio al movimiento de una partícula. Se puede considerar que los cuerpos reales que tienen sólo movimiento de traslación se comportan como partículas. El movimiento se llama de traslación, si los ejes de un sistema de coordenadas que se imagine rígidamente ligado al objeto, digamos x’ y y’, siempre permanecen paralelos a los ejes de algún sistema de coordenadas fijo, digamos x y y. Por ejemplo, en la Fig.1 mostramos el movimiento de traslación de un objeto plano que se mueve de la posición A a la B y a la C. Nótese que la trayectoria considerada no es necesariamente una línea recta. Nótese también que en todo el movimiento cada punto del cuerpo sufre los mismos movimientos que cualquier otro punto. Podemos suponer que el cuerpo sea una partícula, porque al describir el movimiento de un punto del cuerpo hemos descrito el movimiento del cuerpo en conjunto.
Velocidad Media
La velocidad de una partícula es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. Consideremos que una partícula se mueve de un punto A a otro punto B en un intervalo de tiempo t. Si d representa el vector desplazamiento que une a A y B, la velocidad media de la partícula durante el intervalo se define así:
………………………………………………………….(1)
Una raya sobre un símbolo indica un valor medio para la cantidad de que se trata.
La cantidad es un vector, porque se obtiene dividiendo el vector entre el escalar t. Por consiguiente, la velocidad tiene tanto dirección como magnitud. La magnitud se expresa en unidades de distancia dividida entre unidades de tiempo, como por ejemplo metros por segundo o kilómetros por hora.
La velocidad dada se llama velocidad media, porque la medida del desplazamiento neto y del tiempo transcurrido no nos dicen nada del movimiento entre A y B. La trayectoria puede haber sido curva o recta, el movimiento pudo haber sido constante o variado (irregular). La velocidad media considera simplemente el desplazamiento total y el tiempo total transcurrido. Por ejemplo, supongamos que una persona sale de su casa a hacer un viaje en auto, y regresa a su casa un tiempo t después de que salió. Nótese que su velocidad media en ese viaje es cero porque su desplazamiento para el intervalo de tiempo particular t es cero.
La ecuación (1) también se puede escribir
x = t………….…………………………………………………………………………(2) de la cual se puede obtener el desplazamiento si se conocen la velocidad media y el intervalo de tiempo.
Si midiéramos el tiempo de llegada a cada uno de los muchos puntos de la ruta seguida entre A y B, podríamos describir el movimiento con mayor detalle. Si la velocidad media resultara igual (en magnitud, dirección y sentido) entre dos puntos cualesquiera a lo largo de la trayectoria, concluiríamos que la partícula se movió con velocidad constante, esto es, a lo largo de una línea recta (dirección constante) y con rapidez uniforme (magnitud constante).
Velocidad Instantánea
Supongamos que una partícula se mueve de tal manera que su velocidad media, medida en un gran número de intervalos diferentes de tiempo, no resulta constante. Se dice que esta partícula se mueve con velocidad variable. Entonces tratamos de determinar una velocidad de la partícula en un instante cualquiera, llamada velocidad instantánea.
La velocidad puede variar por cambio de magnitud, por cambio de dirección, por cambio de sentido, o por ambas causas. Aquí sólo trataremos del movimiento en una dimensión, en el cual la velocidad puede cambiar continuamente en magnitud, pero sólo puede dirigirse en uno de los sentidos a lo largo de una línea recta. Para mayor sencillez, consideraremos primero el movimiento de un solo sentido a lo largo de una línea recta.
Escogemos el eje de las x alojado en la línea recta (Fig. 2). Sea x1, el desplazamiento de la partícula a partir del origen en el tiempo t1 y sea x2 el desplazamiento en el tiempo t2 un poco después. El tiempo transcurrido (t2 - t1) lo representamos por ∆t. El desplazamiento durante ese intervalo es x2 - x1 o ∆x. Por consiguiente la velocidad media entre los dos puntos es ∆x/∆t. Si hubiéramos escogido un corrimiento diferente, digamos x3 - x1 podríamos haber obtenido un resultado diferente, porque la velocidad puede no ser constante en magnitud. Sin embargo, si escogemos el punto x2 sucesivamente más y más cerca del punto x1, las relaciones correspondientes ∆x/∆t se aproximarán a un valor límite definido. Aunque el desplazamiento se hace entonces sumamente pequeño, el intervalo de tiempo entre el cual se divide también se hace pequeño y su cociente no es necesariamente una cantidad pequeña. Este valor límite de ∆x/∆t se llama velocidad instantánea del punto x1, o velocidad de la partícula en el instante t1.
Si ∆x es el desplazamiento en un intervalo de tiempo ∆t, a partir del tiempo t, la velocidad en el tiempo t es el valor límite a que tiende ∆x/∆t cuando tanto ∆x como ∆t tienden a cero. Entonces si v representa la velocidad instantánea,
La dirección de v es la dirección límite del vector cambio de posición ∆x. Cuando la partícula se mueve en la dirección positiva del eje de las x, el vector velocidad instantánea se dirige hacia +x; cuando se mueve en la dirección negativa del eje de las x, el vector velocidad instantánea se dirige hacia -x.
En la notación del cálculo, el valor limite ∆x/∆t, cuando t tiende a cero, se escribe dx/dt y se llama la derivada de x con respecto a t. Entonces tenemos
………………………………………………………………………….(3)
La magnitud v de la velocidad instantánea se llama rapidez y es simplemente el valor absoluto de v. Esto es,
Siendo la rapidez la magnitud de un vector, es intrínsecamente positiva.
Nótese que cuando la velocidad es constante la velocidad en cualquier instante es igual a la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo.
Así como una partícula es un concepto físico que hace uso del concepto matemático de punto, igualmente la velocidad es un concepto ‘físico que echa mano del concepto matemático de derivación. De hecho, el cálculo fue inventado originalmente por el físico Inglés Isaac Newton (1642-1727), para tener una herramienta matemática adecuada para tratar los problemas fundamentales de la mecánica. En cambio, algunos conceptos matemáticos abstractos no han encontrado aplicación a la realidad física sino hasta después de haberse desarrollado suficientemente.
Aceleración Media
A menudo la velocidad de un cuerpo en movimiento cambia conforme se efectúa el movimiento. Entonces se dice que el cuerpo tiene una aceleración. La aceleración de una partícula es la rapidez con que cambia su velocidad con el tiempo. Si en un instante t una partícula se está moviendo con la velocidad instantánea vi, y un instante después t se mueve con la velocidad instantánea vf, la aceleración media es el cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo, esto es
…………………………………………………………………………(4)
La cantidad es un vector, porque se obtiene dividiendo un vector entre un escalar ∆t. Por consiguiente la aceleración se caracteriza por su magnitud, dirección y sentido. La magnitud de la aceleración se expresa en unidades de velocidad divididas entre unidades de tiempo, como por ejemplo m/s por s (que se escribe m/s2 y se lee “metros por segundos al cuadrado”).
Al término de la ecuación (4) lo llamamos aceleración media, porque no se ha dicho nada de la variación con el tiempo de la velocidad durante el intervalo ∆t. Sólo sabemos el cambio neto de velocidad y el tiempo total transcurrido.
Si el cambio de velocidad (un vector) dividido entre el intervalo de tiempo permaneciera constante, cualesquiera que fueran los intervalos de tiempo en los cuales se midiera la aceleración, tendríamos una aceleración constante. Por consiguiente, la aceleración constante supone que la velocidad cambia siempre m la misma dirección y que la rapidez cambia con el tiempo de manera constante. Si la velocidad permaneciera constante tanto en magnitud como en dirección, la aceleración seria cero.
Aceleración Instantánea
Si una partícula se mueve de tal manera que su aceleración media, medida en un gran número de intervalos diferentes no es constante, se dice que la partícula tiene aceleración variable. La aceleración puede variar en magnitud, en dirección o en ambos En tales casos tratamos de determinar la aceleración de la partícula en cualquier momento dado, llamada aceleración instantánea. La aceleración instantánea se define
………………………………………………………………………….(5)
Esto es, la aceleración de una partícula en el tiempo t es el valor límite de ∆v/∆t en el tiempo t, cuando tanto ∆v como ∆t tienden a cero. La magnitud de la aceleración instantánea a es la magnitud de a. La dirección de la aceleración instantánea es la dirección límite del vector cambio de velocidad ∆v.
Nótese que cuando la aceleración es constante la aceleración instantánea es igual a la aceleración media.
Dos casos especiales de movimiento acelerado son de gran interés en física. Uno es el de aceleración constante. En este caso el movimiento es a lo largo de una línea recta (no hay cambio de dirección), pero la rapidez cambia uniformemente con el tiempo.
Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante
Para el movimiento en una línea recta, que se llama movimiento rectilíneo, los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración están todos en la misma línea. Por consiguiente sólo necesitamos encontrar las relaciones entre x, v y a considerados como escalares. Un valor negativo de x, v o a, simplemente significará que la cantidad vectorial correspondiente apunta en el sentido negativo de las x. El signo no depende de donde está el vector, sino de la dirección en que apunta (Fig. 3).
Consideremos ahora el movimiento rectilíneo con aceleración constante. En el caso de la aceleración constante, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea a, de tal manera que:
…………………………………………………………………………………(6)
Sea t1 = 0 y sea t2, un valor arbitrario cualquiera del tiempo t. Sea vo, la velocidad cuando t = 0 y v la velocidad en el tiempo t. A vo la llamamos velocidad inicial. Con esas convenciones nuestra ecuación anterior se transforma en
V = Vo + a t ………………………………………………………………………………(7)
Esta ecuación establece que la velocidad V en el tiempo t, es la suma de la velocidad Vo en el tiempo cero más el aumento de velocidad durante el tiempo t, que es at.
La Fig. 4 muestra una gráfica de V en función de t (Fig. 4-b) para una aceleración constante (Fig. 4-a). Nótese que la pendiente de la curva de velocidad es constante de acuerdo con el hecho de que a, que es dv/dt, es constante.
Cuando la velocidad cambia uniformemente con el tiempo, la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo es igual a la semisuma de las velocidades al principio y al final del intervalo. Por consiguiente la velocidad media entre t = 0 y t = t es
………………………………………………………………………………..(8)
Esta relación no sería cierta si la aceleración no fuera constante, porque entonces la gráfica V, t no sería una línea recta.
De la ecuación (2), podemos obtener ahora el corrimiento x en cualquier tiempo t para una partícula que esté en el origen para t = 0,es:
x = t
……………………………………………………………………………….(9)
Esas dos ecuaciones, (7) y (9), son suficientes para obtener toda la información que se requiera acerca del movimiento con aceleración.
Nótese que además de las condiciones iniciales del movimiento, esto es, de los valores de x y de V para t = 0 (que aquí se han tomado Xo = 0 y Vo = 0 hay cuatro parámetros del movimiento. Son d, el desplazamiento; V, la velocidad; a, la aceleración; y t, el tiempo transcurrido. Si sabemos sólo que la aceleración es constante, pero no necesariamente su valor, de dos de esos parámetros cualesquiera podemos obtener los otros dos. Por ejemplo, si se conocen a y t, la ecuación (7) da V, y habiendo obtenido V, encontramos X con la ecuación (9).
En la mayoría de los problemas en el movimiento uniformemente acelerado se conocen dos parámetros y se busca un tercero. Por consiguiente es conveniente obtener relaciones entre cualquiera tres de los cuatro parámetros. La ecuación (7) contiene V, a y t, pero no X; la ecuación (9) contiene x, V y t, pero no a. Es claro que para completar nuestro sistema de ecuaciones necesitamos otras dos relaciones más, una que contenga x, a y t, pero no V y otra que contenga x, V y a, pero no t. Esas ecuaciones se obtienen fácilmente combinando las ecuaciones (7) y (9).
Así, si sustituimos en la ecuación (9) el valor de V de la ecuación (7), eliminamos por lo tanto V y obtenemos:
……………………………………………………………………………(10)
Si de la ecuación (7) se despeja t y ese valor de t se sustituye en la ecuación (9), obtenemos
…………………………………………………………………………..(11)
Las ecuaciones (7), (9), (10) y (11) representan el conjunto completo de ecuaciones para el movimiento con aceleración constante, para el caso especial de la partícula que está en el origen cuando t = 0. Si la partícula estuviera en x = xo cuando t = 0 esas ecuaciones serian aplicables poniendo x – xo en vez de x.
Un caso especial del movimiento con aceleración constante, es aquél en que la aceleración es cero. Entonces, a = 0 y V = Vo, es constante, de modo que x = Vot
Mecánica
La mecánica es la más antigua de las ciencias físicas. Históricamente, sus conceptos fundamentales se usaron y generalizaron para elaborar otros campos de la física. Por consiguiente, una comprensión de los principios de la mecánica proporciona fundamento para entender toda la física.
Básicamente, la mecánica es el estudio de los objetos materiales. La parte que describe el movimiento se llama cinemática; la parte que relaciona el movimiento con las fuerzas que lo causan y con las propiedades del sistema en movimiento se llama dinámica. En estos apuntes y en el siguiente nos ocuparemos de la cinemática. Primero consideraremos el movimiento en una dimensión y en el siguiente capítulo el movimiento bi y tridimensional.
Cinemática de la Partícula
Un objeto real puede girar al ir moviéndose. Por ejemplo una pelota puede girar mientras se mueve como un todo en una trayectoria. También un cuerpo puede vibrar conforme se va moviendo, por ejemplo, una gotita de agua que cae. Esas complicaciones pueden evitarse considerando el movimiento de un cuerpo muy pequeño llamado una partícula. Matemáticamente una partícula se trata como un punto, un objeto sin extensión, de tal manera que no hay que hacer consideraciones de rotaciones ni de vibraciones.
Real y verdaderamente no existe en la naturaleza un objeto sin extensión. Sin embargo, el concepto de “partícula” es muy útil porque los cuerpos reales a menudo se comportan, por lo menos aproximadamente, como si fueran partículas. Un cuerpo no tiene que ser necesariamente “pequeño” en el sentido usual de la palabra para que pueda ser tratado como partícula. Por ejemplo, si consideramos la distancia de la Tierra al Sol, con respecto a esta distancia la Tierra y el Sol pueden considerarse ordinariamente como partículas. Podemos deducir una gran cantidad de información acerca del movimiento del Sol y los planetas, sin error apreciable, tratando esos cuerpos como partículas. Las pelotas, las moléculas y los electrones, pueden tratarse a menudo como partículas. Aún si un cuerpo es demasiado grande para considerarse como partícula para un problema específico, siempre puede considerarse al cuerpo como compuesto por un gran número de partículas y los resultados del movimiento de las partículas pueden ser útiles en el análisis del problema Por consiguiente, como una simplificación, limitaremos por ahora nuestro estudio al movimiento de una partícula. Se puede considerar que los cuerpos reales que tienen sólo movimiento de traslación se comportan como partículas. El movimiento se llama de traslación, si los ejes de un sistema de coordenadas que se imagine rígidamente ligado al objeto, digamos x’ y y’, siempre permanecen paralelos a los ejes de algún sistema de coordenadas fijo, digamos x y y. Por ejemplo, en la Fig.1 mostramos el movimiento de traslación de un objeto plano que se mueve de la posición A a la B y a la C. Nótese que la trayectoria considerada no es necesariamente una línea recta. Nótese también que en todo el movimiento cada punto del cuerpo sufre los mismos movimientos que cualquier otro punto. Podemos suponer que el cuerpo sea una partícula, porque al describir el movimiento de un punto del cuerpo hemos descrito el movimiento del cuerpo en conjunto.
Velocidad Media
La velocidad de una partícula es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. Consideremos que una partícula se mueve de un punto A a otro punto B en un intervalo de tiempo t. Si d representa el vector desplazamiento que une a A y B, la velocidad media de la partícula durante el intervalo se define así:
………………………………………………………….(1)
Una raya sobre un símbolo indica un valor medio para la cantidad de que se trata.
La cantidad es un vector, porque se obtiene dividiendo el vector entre el escalar t. Por consiguiente, la velocidad tiene tanto dirección como magnitud. La magnitud se expresa en unidades de distancia dividida entre unidades de tiempo, como por ejemplo metros por segundo o kilómetros por hora.
La velocidad dada se llama velocidad media, porque la medida del desplazamiento neto y del tiempo transcurrido no nos dicen nada del movimiento entre A y B. La trayectoria puede haber sido curva o recta, el movimiento pudo haber sido constante o variado (irregular). La velocidad media considera simplemente el desplazamiento total y el tiempo total transcurrido. Por ejemplo, supongamos que una persona sale de su casa a hacer un viaje en auto, y regresa a su casa un tiempo t después de que salió. Nótese que su velocidad media en ese viaje es cero porque su desplazamiento para el intervalo de tiempo particular t es cero.
La ecuación (1) también se puede escribir
x = t………….…………………………………………………………………………(2) de la cual se puede obtener el desplazamiento si se conocen la velocidad media y el intervalo de tiempo.
Si midiéramos el tiempo de llegada a cada uno de los muchos puntos de la ruta seguida entre A y B, podríamos describir el movimiento con mayor detalle. Si la velocidad media resultara igual (en magnitud, dirección y sentido) entre dos puntos cualesquiera a lo largo de la trayectoria, concluiríamos que la partícula se movió con velocidad constante, esto es, a lo largo de una línea recta (dirección constante) y con rapidez uniforme (magnitud constante).
Velocidad Instantánea
Supongamos que una partícula se mueve de tal manera que su velocidad media, medida en un gran número de intervalos diferentes de tiempo, no resulta constante. Se dice que esta partícula se mueve con velocidad variable. Entonces tratamos de determinar una velocidad de la partícula en un instante cualquiera, llamada velocidad instantánea.
La velocidad puede variar por cambio de magnitud, por cambio de dirección, por cambio de sentido, o por ambas causas. Aquí sólo trataremos del movimiento en una dimensión, en el cual la velocidad puede cambiar continuamente en magnitud, pero sólo puede dirigirse en uno de los sentidos a lo largo de una línea recta. Para mayor sencillez, consideraremos primero el movimiento de un solo sentido a lo largo de una línea recta.
Escogemos el eje de las x alojado en la línea recta (Fig. 2). Sea x1, el desplazamiento de la partícula a partir del origen en el tiempo t1 y sea x2 el desplazamiento en el tiempo t2 un poco después. El tiempo transcurrido (t2 - t1) lo representamos por ∆t. El desplazamiento durante ese intervalo es x2 - x1 o ∆x. Por consiguiente la velocidad media entre los dos puntos es ∆x/∆t. Si hubiéramos escogido un corrimiento diferente, digamos x3 - x1 podríamos haber obtenido un resultado diferente, porque la velocidad puede no ser constante en magnitud. Sin embargo, si escogemos el punto x2 sucesivamente más y más cerca del punto x1, las relaciones correspondientes ∆x/∆t se aproximarán a un valor límite definido. Aunque el desplazamiento se hace entonces sumamente pequeño, el intervalo de tiempo entre el cual se divide también se hace pequeño y su cociente no es necesariamente una cantidad pequeña. Este valor límite de ∆x/∆t se llama velocidad instantánea del punto x1, o velocidad de la partícula en el instante t1.
Si ∆x es el desplazamiento en un intervalo de tiempo ∆t, a partir del tiempo t, la velocidad en el tiempo t es el valor límite a que tiende ∆x/∆t cuando tanto ∆x como ∆t tienden a cero. Entonces si v representa la velocidad instantánea,
La dirección de v es la dirección límite del vector cambio de posición ∆x. Cuando la partícula se mueve en la dirección positiva del eje de las x, el vector velocidad instantánea se dirige hacia +x; cuando se mueve en la dirección negativa del eje de las x, el vector velocidad instantánea se dirige hacia -x.
En la notación del cálculo, el valor limite ∆x/∆t, cuando t tiende a cero, se escribe dx/dt y se llama la derivada de x con respecto a t. Entonces tenemos
………………………………………………………………………….(3)
La magnitud v de la velocidad instantánea se llama rapidez y es simplemente el valor absoluto de v. Esto es,
Siendo la rapidez la magnitud de un vector, es intrínsecamente positiva.
Nótese que cuando la velocidad es constante la velocidad en cualquier instante es igual a la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo.
Así como una partícula es un concepto físico que hace uso del concepto matemático de punto, igualmente la velocidad es un concepto ‘físico que echa mano del concepto matemático de derivación. De hecho, el cálculo fue inventado originalmente por el físico Inglés Isaac Newton (1642-1727), para tener una herramienta matemática adecuada para tratar los problemas fundamentales de la mecánica. En cambio, algunos conceptos matemáticos abstractos no han encontrado aplicación a la realidad física sino hasta después de haberse desarrollado suficientemente.
Aceleración Media
A menudo la velocidad de un cuerpo en movimiento cambia conforme se efectúa el movimiento. Entonces se dice que el cuerpo tiene una aceleración. La aceleración de una partícula es la rapidez con que cambia su velocidad con el tiempo. Si en un instante t una partícula se está moviendo con la velocidad instantánea vi, y un instante después t se mueve con la velocidad instantánea vf, la aceleración media es el cambio de velocidad dividido entre el intervalo de tiempo, esto es
…………………………………………………………………………(4)
La cantidad es un vector, porque se obtiene dividiendo un vector entre un escalar ∆t. Por consiguiente la aceleración se caracteriza por su magnitud, dirección y sentido. La magnitud de la aceleración se expresa en unidades de velocidad divididas entre unidades de tiempo, como por ejemplo m/s por s (que se escribe m/s2 y se lee “metros por segundos al cuadrado”).
Al término de la ecuación (4) lo llamamos aceleración media, porque no se ha dicho nada de la variación con el tiempo de la velocidad durante el intervalo ∆t. Sólo sabemos el cambio neto de velocidad y el tiempo total transcurrido.
Si el cambio de velocidad (un vector) dividido entre el intervalo de tiempo permaneciera constante, cualesquiera que fueran los intervalos de tiempo en los cuales se midiera la aceleración, tendríamos una aceleración constante. Por consiguiente, la aceleración constante supone que la velocidad cambia siempre m la misma dirección y que la rapidez cambia con el tiempo de manera constante. Si la velocidad permaneciera constante tanto en magnitud como en dirección, la aceleración seria cero.
Aceleración Instantánea
Si una partícula se mueve de tal manera que su aceleración media, medida en un gran número de intervalos diferentes no es constante, se dice que la partícula tiene aceleración variable. La aceleración puede variar en magnitud, en dirección o en ambos En tales casos tratamos de determinar la aceleración de la partícula en cualquier momento dado, llamada aceleración instantánea. La aceleración instantánea se define
………………………………………………………………………….(5)
Esto es, la aceleración de una partícula en el tiempo t es el valor límite de ∆v/∆t en el tiempo t, cuando tanto ∆v como ∆t tienden a cero. La magnitud de la aceleración instantánea a es la magnitud de a. La dirección de la aceleración instantánea es la dirección límite del vector cambio de velocidad ∆v.
Nótese que cuando la aceleración es constante la aceleración instantánea es igual a la aceleración media.
Dos casos especiales de movimiento acelerado son de gran interés en física. Uno es el de aceleración constante. En este caso el movimiento es a lo largo de una línea recta (no hay cambio de dirección), pero la rapidez cambia uniformemente con el tiempo.
Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante
Para el movimiento en una línea recta, que se llama movimiento rectilíneo, los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración están todos en la misma línea. Por consiguiente sólo necesitamos encontrar las relaciones entre x, v y a considerados como escalares. Un valor negativo de x, v o a, simplemente significará que la cantidad vectorial correspondiente apunta en el sentido negativo de las x. El signo no depende de donde está el vector, sino de la dirección en que apunta (Fig. 3).
Consideremos ahora el movimiento rectilíneo con aceleración constante. En el caso de la aceleración constante, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea a, de tal manera que:
…………………………………………………………………………………(6)
Sea t1 = 0 y sea t2, un valor arbitrario cualquiera del tiempo t. Sea vo, la velocidad cuando t = 0 y v la velocidad en el tiempo t. A vo la llamamos velocidad inicial. Con esas convenciones nuestra ecuación anterior se transforma en
V = Vo + a t ………………………………………………………………………………(7)
Esta ecuación establece que la velocidad V en el tiempo t, es la suma de la velocidad Vo en el tiempo cero más el aumento de velocidad durante el tiempo t, que es at.
La Fig. 4 muestra una gráfica de V en función de t (Fig. 4-b) para una aceleración constante (Fig. 4-a). Nótese que la pendiente de la curva de velocidad es constante de acuerdo con el hecho de que a, que es dv/dt, es constante.
Cuando la velocidad cambia uniformemente con el tiempo, la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo es igual a la semisuma de las velocidades al principio y al final del intervalo. Por consiguiente la velocidad media entre t = 0 y t = t es
………………………………………………………………………………..(8)
Esta relación no sería cierta si la aceleración no fuera constante, porque entonces la gráfica V, t no sería una línea recta.
De la ecuación (2), podemos obtener ahora el corrimiento x en cualquier tiempo t para una partícula que esté en el origen para t = 0,es:
x = t
……………………………………………………………………………….(9)
Esas dos ecuaciones, (7) y (9), son suficientes para obtener toda la información que se requiera acerca del movimiento con aceleración.
Nótese que además de las condiciones iniciales del movimiento, esto es, de los valores de x y de V para t = 0 (que aquí se han tomado Xo = 0 y Vo = 0 hay cuatro parámetros del movimiento. Son d, el desplazamiento; V, la velocidad; a, la aceleración; y t, el tiempo transcurrido. Si sabemos sólo que la aceleración es constante, pero no necesariamente su valor, de dos de esos parámetros cualesquiera podemos obtener los otros dos. Por ejemplo, si se conocen a y t, la ecuación (7) da V, y habiendo obtenido V, encontramos X con la ecuación (9).
En la mayoría de los problemas en el movimiento uniformemente acelerado se conocen dos parámetros y se busca un tercero. Por consiguiente es conveniente obtener relaciones entre cualquiera tres de los cuatro parámetros. La ecuación (7) contiene V, a y t, pero no X; la ecuación (9) contiene x, V y t, pero no a. Es claro que para completar nuestro sistema de ecuaciones necesitamos otras dos relaciones más, una que contenga x, a y t, pero no V y otra que contenga x, V y a, pero no t. Esas ecuaciones se obtienen fácilmente combinando las ecuaciones (7) y (9).
Así, si sustituimos en la ecuación (9) el valor de V de la ecuación (7), eliminamos por lo tanto V y obtenemos:
……………………………………………………………………………(10)
Si de la ecuación (7) se despeja t y ese valor de t se sustituye en la ecuación (9), obtenemos
…………………………………………………………………………..(11)
Las ecuaciones (7), (9), (10) y (11) representan el conjunto completo de ecuaciones para el movimiento con aceleración constante, para el caso especial de la partícula que está en el origen cuando t = 0. Si la partícula estuviera en x = xo cuando t = 0 esas ecuaciones serian aplicables poniendo x – xo en vez de x.
Un caso especial del movimiento con aceleración constante, es aquél en que la aceleración es cero. Entonces, a = 0 y V = Vo, es constante, de modo que x = Vot
